구프의 메모장

선형대수학 ( Linear Algebra ) 행렬 ( Matrix ) 1. 행렬의 기본 [ 중간고사 범위 ] 더보기 행렬은 행(Row)과 열(Column)로 이루어졌다. 정방행렬 (Square Matrix) : 행의 크기와 열의 크기가 같은 행렬 주 대각선 (Main Diagonal) : 정방행렬의 대각선 항 - a11, a22, a33 행렬간 연산 덧셈 & 뺄셈 ( A + B, A - B ) - 같은 위치의 항끼리 연산한다. - 결과 행렬 M의 성분 Mrc에서, Mrc = Arc (+, -) Brc이다. 교환 법칙 → A + B = B + A 결합 법칙 → (A + B) + C = A + (B + C) 항등 법칙 → A + O = O + A 역원 → A + ( -A ) = O 곱셈 ( A * B ) -..

1. 생성 (Span) Span의 사전적 의미는 '포괄하다. 걸치다. 가로지르다' 두 개 이상의 벡터 V1, V2, ..., Vn의 선형 조합으로 공간을 만드는 것을 의미한다. 2. 기저 (Basis) 어떤 행렬 A의 열 공간은 그 행렬의 열 벡터들의 선형 조합으로 이뤄진다. 이는 열 벡터들이 열 공간을 Span한 것으로 해석할 수 있다. 이 때, 공간을 Span하면서 서로 독립인 벡터를 기저 벡터 (Basis Vector) 라고 한다. 3*3 단위 행렬에서 각 열이 독립이고, 행렬의 Null Space는 Zero Vector 뿐이면서, 각 열을 이용해 3차원 공간 전체를 Span할 수 있다면, 행렬의 각 열이 기저이며, 각 축(x, y, z)을 대표하는 기저의 형태를 표준 기저 (Standard bas..

1. 벡터 공간 실벡터 공간과 복소벡터, 두가지 공간으로 나눠진다. 다수의 벡터가 모여 하나의 공간을 형성한 것이다. 공간 상의 벡터와 그 벡터들에 대한 선형결합 연산의 결과 벡터가 같은 공간상에 존재해야 한다. 만약, 선형결합 연산을 했을 때 결과 벡터가 같은 공간을 벗어난다면, 해당 공간은 닫혀있지 않다라고 표현하며, 벡터공간으로 정의되지 않는다. 이 때, [3, 2]와 [-3, -2] 벡터를 연산했을 때 나온 [0, 0]벡터(영벡터)가 존재하지 않는다면, 벡터공간이 존재할 수 없으므로 영벡터가 존재해야 한다. 2. 부분 공간 임의의 N차원 공간에 포함되면서 N차원 벡터들에 대한 선형규칙이 성립하는 작은 공간. R2에서는 영벡터, 원점을 포함한 선, N차원 공간 전체가 부분 공간이 된다. R3에서는 ..

스칼라 ( Scala ) : 압력, 속도, 체적, 지름 등의 실수 크기로 나타낼 수 있는 정보 1. 벡터 ( Vector ) 속도, 힘, 가속도와 같이 크기와 방향을 포함하는 정보 벡터는 화살표로 나타내며, 유향 선분(Directed Segment)라고 한다. 화살표의 시작점을 시점(Initial Point, Tail), 끝점을 종점(Terminal point, Head)라고 한다. 두 벡터가 똑같은 크기와 방향을 가지면 동치(Equivalent)라고 한다. 시점과 종점의 위치는 달라도 된다. 시점과 종점을 무시하고 크기와 방향만을 고려하는 벡터를 기하벡터(Geometric Vector)라고 한다. 즉, 동치인 기하벡터는 같다. 벡터를 좌표로 나타낼 때, (0, 0, ....)에서 (r1, r2, .....

- 행렬곱셈의 Inverse -> 행렬 A * A의 역행렬 = 단위행렬 I -> 행렬 A * 행렬 B * ? * ? = 단위행렬 I 일때, 물음표 자리에는 A의 역행렬이 먼저인가, B의 역행렬이 먼저인가? -> B의 역행렬이 먼저이다. ( A * B * B^(-1) * A^(-1) = A * I * A^(-1) = A * A^(-1) = I ) -> 단위행렬을 만들기 위해 역행렬을 곱해줄 때에는, 각 행렬의 역행렬이 본래의 행렬과 붙을 수 있게 곱해줘야 한다. - 행렬곱셈의 Transpose (전치 행렬) -> A의 역행렬의 전치행렬과 A의 전치행렬의 역행렬은 같다. LU 분해 ( LU Decomposition, =LU Factorization ) - 행렬 A를 하부삼각행렬(L)과 상부삼각행렬(U)의 곱..

행렬식의 기하학적 의미 - 행렬식은 기하학적으로 2D에서는 넓이, 3D에서는 부피와 관련되어진다. - 행렬식의 부호에 따라, 양수이면 오른쪽 좌표계, 음수이면 왼쪽 좌표계의 평행사변형이 그려진다. - 행렬식을 통해 부피, 체적, 이런것들은 계산가능하나, 최단거리 문제같은건 풀 수 없다. 선형방정식의 해법 - 행렬 A에 대해, Ax = b가 n개의 변수에 대한 n개의 방정식으로 이루어진 선형시스템 일때, 행렬 A가 가역적이면 선형시스템은 유일한 해 x = A^(-1) * b를 갖는다. Q. 위와 같은 선형시스템을 역행렬을 이용해 해를 구하는 방법. -> x = -6, y = 5, z = -1이다. 크래머의 규칙 (Cramer's Rule) - 가역적인 행렬 A와 1*n 행렬 B가 있을 때, Ax = B의 ..

역행렬 - 행렬 A와 B가 모두 정방행렬일 때, AB = BA = I 인 행렬 B가 존재하는 경우, 행렬 A가 가역적이라고 한다. -> 이 때, AB = BA = I를 성립시키는 행렬 B를 행렬 A의 역행렬이라고 한다. - 역행렬이 존재함 -> 행렬식이 0이 아님 -> 정칙행렬 - 역행렬이 없음 -> 행렬식이 0임 -> 특이행렬 - 역행렬은 여러 개 존재할 수 없다. ( 0개이거나 1개임 ) -> 행렬 A의 역행렬이 행렬 B, 행렬 C 두개라고 가정할 때, AB=BA=I이고, AC=CA=I이다. -> 이 때, C=CI 이고, I=AB 이므로, C=C(AB)이다. -> 결합법칙에 따라, C(AB) = (CA)B이고, CA=I이므로 (CA)B = IB이다. -> 즉, C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B ..

행렬의 종류 - 대각행렬 ( Diagonal Matrix ) : 대각선을 제외한 모든 항이 0인 행렬 -> 대각 합 (Trace, Tr(A)) : 행렬의 대각선 항들의 합 ( A11 + A22 + A33 + .... + Ann ) - 항등행렬( Identity Matrix, =단위 행렬) : 대각행렬이면서 모든 대각선 항의 값이 1인 정방행렬 ( 기호 I 사용 ) - 영행렬 ( Zero Matrix ) : 모든 항이 0인 행렬 ( 기호 O 사용 ) - 전치행렬 ( Transpose Matrix ) : M*N 행렬을 돌려서 N*M 행렬로 만든 것. (대각선 대칭이며, A^T로 나타냄) - 대칭행렬 ( Symmetric Matrix ) : 정방행렬이면서 A=A^T인 행렬. - 교대행렬 ( Skewed-Sym..

행렬 (Matrix) - 행(Row)와 열(Column)로 이루어진 수의 배열. - i행 j열은 ij항 혹은 ij성분 이라고 한다. - 한 행이나 열을 묶어서 벡터라고 한다. (행 벡터 / 열 벡터) - 행의 크기와 열의 크기가 같은 행렬을 정방행렬이라고 한다. - 정방행렬의 대각선 항들을 주 대각선 (Main Diagonal)이라고 한다. 행렬간 덧셈 및 뺄셈 - 같은 위치의 항끼리 더하거나 뺀다. - 덧셈과 뺄셈에 대해서는 교환 법칙(A + B = B + A), 결합 법칙( (A+B) + C = A + (B+C) ), 항등 법칙 (A+O = O+A), 역원 (A + (-A) = (-A) + A = O) 이 성립한다. 행렬의 스칼라 곱 - 모든 항에 스칼라 k를 곱한다. - 스칼라 곱에 대해서 배분법칙..