행렬의 종류
- 대각행렬 ( Diagonal Matrix ) : 대각선을 제외한 모든 항이 0인 행렬
-> 대각 합 (Trace, Tr(A)) : 행렬의 대각선 항들의 합 ( A11 + A22 + A33 + .... + Ann )
- 항등행렬( Identity Matrix, =단위 행렬) : 대각행렬이면서 모든 대각선 항의 값이 1인 정방행렬 ( 기호 I 사용 )
- 영행렬 ( Zero Matrix ) : 모든 항이 0인 행렬 ( 기호 O 사용 )
- 전치행렬 ( Transpose Matrix ) : M*N 행렬을 돌려서 N*M 행렬로 만든 것. (대각선 대칭이며, A^T로 나타냄)
- 대칭행렬 ( Symmetric Matrix ) : 정방행렬이면서 A=A^T인 행렬.
- 교대행렬 ( Skewed-Symmetric Matrix ) : 정방행렬이면서 A=-A^T인 행렬.
- 삼각행렬 ( Triangular Matrix ) : 주 대각선 위나 아래의 모든 항이 0인 정방행렬
-> 아래가 모두 0이면 상부삼각행렬, 위가 모두 0이면 하부삼각행렬이다.
기본 행 연산 ( Elementary Row Operation )
- 1. 어떤 2개의 행의 위치를 서로 바꾼다.
- 2. 어떤 행에다 0이 아닌 상수를 곱한다.
- 3. 어떤 행에다 상수를 곱한 후, 다른 행에 더한다.
- 위의 3가지의 기본 행 연산들을 한 번 혹은 여러 번 거친 행렬을 행 동치 ( Row Equivalent ) 라고 한다.
- 항등행렬에서 한 번의 기본 행 연산을 거쳐 만든 행렬을 기본행렬( Elementary Matrix )라고 한다.
기본 행 연산 수행
- 피벗 ( Pivot ) : 행렬의 각 행에서 가장 왼쪽에 나타나는 0이 아닌 수
- 행 사다리꼴 ( Row Echelon Form, REF ) : 행렬 A에 기본 행 연산을 수행 후 아래의 3가지 조건을 만족시킨 행렬
1. 0으로만 이뤄진 행들은 행렬의 가장 아래쪽에 위치함.
2. 모두가 0이 아닌 행의 가장 왼쪽에 처음 나타나는 0이 아닌 수가 피벗임.
3. 모두가 0이 아닌 행이 연속으로 2개 있으면, 아래쪽 행의 피벗은 위쪽 행의 피벗보다 오른쪽이여야 한다.
- 기약 행 사다리꼴 ( Reduced REF ) : 행 사다리꼴의 조건을 모두 충족하면서, 각 행의 피벗을 포함하는 열에는 피벗 이외의 항이 모두 0이다.
-> 행 사다리꼴은 각 피벗의 아랫값들이 모두 0이면 되고, 기약 행 사다리꼴은 각 피벗의 위 아래가 모두 0이여야 한다.
- 전향단계(Forward Phase) : 피벗의 아래부분이 모두 0이되도록 하는 계산. 완료시 행 사다리꼴이 구해짐
-> 가우스 소거법(Gauss Elimination)
- 후향단계(Backward Phase) : 피벗의 윗부분이 모두 0이 되도록 하는 계산.
-> 조단 소거법(Jordan-Elimination)
- 전향단계와 후향단계를 모두 실행하면 기약 행 사다리꼴이 구해지고, 이를 가우스-조단 소거법이라고 한다.
- 행 사다리꼴에서 행 전체가 0이 아닌 (피벗이 존재하는) 행의 개수를 행렬의 계수(Rank) 라고 한다.
행렬식 ( Determinant )
- 정방행렬 A에 하나의 스칼라 값을 대응시키는 함수. ( Det(A) 혹은 |A| 로 표시함 )
-> N차 정방행렬의 행렬식에 대해서 N차 행렬식이라고 한다.
- 2차 행렬식 공식
- 3차 행렬식 공식
-> 첫번째 행에서 오른쪽으로 진행하면서, 각 항의 오른쪽 아래 대각선 항들을 모두 곱한뒤, 더하고,
각 항의 왼쪽 아래 대각선항들을 모두 곱한뒤 더해서, 첫번째 더한값에서 두번째 더한값을 빼면된다.
(사루스의 공식, Sarrus's Formula)
여인수를 사용한 행렬식 계산
- 정해진 항의 가로 세로 열을 모두 제외한 남은 항들의 행렬 ( 소행렬식, minor )를 통해 계산한다.
-> 3차 정방행렬 A에서 정해진 항이 a11이라면, 행렬 A의 1행과 1열을 모두 제외. 남은 {{a22, a23}, {a32, a33}}이 소행렬식이고 이를 M11이라 쓴다.
- 여인수(Confactor, 여인자) : 선택된 항 aij에서, (-1)^(i+j)를 한 뒤, 그 값을 소행렬식 Mij에 곱한 값이다.
-> 위와 같이 a11을 선택했을 때, -1^(1+1) = -1^2 = 1이고, M11 * 1은 M11이므로, M11이 여인수이다.
-> a12를 선택했을 때, -1^(1+2) = -1^3 = -1이고, M12 * -1은 -M12이므로, -M12가 여인수이다.
- 행렬식은 각 행에 대해 (선택된 항 * 여인수)의 합이다.
-> 3차 정방행렬에서의 행렬식은 a11*M11 + a12*-M12 + a13*M13 이다.
-> 1행이 아닌 다른 행을 선택해도 똑같이 계산 가능하다. ( a21*-M21 + ..... )
정방행렬의 행렬식의 값이 0일 경우 특이행렬 ( Singular Matrix ) 라고 하며, 0이 아니면 정칙행렬 ( Non-Singular Matrix) 라고 한다.
행렬의 특징
1. 단위행렬(=항등행렬, I)의 행렬식은 1이다.
2. 행렬 내에서 행의 위치를 변경하면 행렬식의 부호가 변경된다.
-> 단위 행렬에서 임의의 행의 위치를 교환한 행렬을 치환행렬( Permutation Matrix ) 이라고 한다.
-> 모든 치환행렬의 행렬식은 1 or -1이다.
3. 정방행렬의 임의의 한 행이나 열에 t라는 스칼라 상수를 곱한 후 행렬식을 구하면, 기존 행렬식*t를 한 값과 같다.
-> 임의의 행에 벡터를 더했을 때에는, 더한 벡터를 따로 분리해 행렬식을 계산할 수 있다.
-> 분리할 때, 덧셈에 관여된 행을 제외하고는 모두 원상태로 복제되어야 한다.
-> 스칼라 상수를 곱하거나, 벡터를 더한 경우에 행렬식을 구하는데 있어 선형 결합 (Linear Combination)의 규칙이 작용한다는 뜻이다.
-> 정방행렬의 행렬식은 각각의 행에 대해서 독립적으로 선형성 (Linearity)을 띈다.
4. 행렬에 똑같은 행이 2개 존재하면 그 행렬의 행렬식은 0이다.
-> 행 2개를 교체하면 행렬식의 부호가 변경되어야 하는데, 똑같은 행끼리 교체시 행렬이 달라지지 않는다.
-> 똑같은 행렬에선 똑같은 행렬식이 나와야하는데, 부호가 달라도 똑같은 수는 0 뿐이다.
5. 기본 행 연산을 수행하더라도 행렬식은 변하지 않는다.
6. 모든 항이 0인 행이 하나라도 존재하면 행렬식은 0이다.
7. 상/하부 삼각행렬에서의 행렬식은 주대각선의 곱으로 구할 수 있다.
8. 행렬 A * 행렬 B의 결과의 행렬식 = 행렬 A의 행렬식 * 행렬 B의 행렬식
9. 행렬 A의 행렬식 = 행렬 A의 전치행렬의 행렬식
10. 행렬식이 0이 아니면 역행렬이 존재한다. (역도 성립함)