행렬식의 기하학적 의미
- 행렬식은 기하학적으로 2D에서는 넓이, 3D에서는 부피와 관련되어진다.
- 행렬식의 부호에 따라, 양수이면 오른쪽 좌표계, 음수이면 왼쪽 좌표계의 평행사변형이 그려진다.
- 행렬식을 통해 부피, 체적, 이런것들은 계산가능하나, 최단거리 문제같은건 풀 수 없다.
선형방정식의 해법
- 행렬 A에 대해, Ax = b가 n개의 변수에 대한 n개의 방정식으로 이루어진 선형시스템 일때, 행렬 A가 가역적이면 선형시스템은 유일한 해 x = A^(-1) * b를 갖는다.
Q. 위와 같은 선형시스템을 역행렬을 이용해 해를 구하는 방법.
-> x = -6, y = 5, z = -1이다.
크래머의 규칙 (Cramer's Rule)
- 가역적인 행렬 A와 1*n 행렬 B가 있을 때, Ax = B의 해집합 x도 1*n이다.
- 여기서 해 집합의 항 x1을 구하기 위해서는, A의 1열을 행렬 B로 대체해서 행렬식을 구한다음 det(A)로 나눈다.
- A의 행렬식을 활용하여 A의 역행렬을 구하는 것에 의의가 있고, 가우스 소거법에 비해 대수적으로 깔끔하게 정리됨.
-> 컴퓨터 계산기 등으로 구현하기에 용이하다.
- 그러나 100*100의 역행렬을 계산하려면, 100*100의 행렬식을 100번이상 계산해야 하므로, 비효율적이다.
- 그러므로, 존재만 알아두고 가우스 소거법을 이용하는 것이 추천된다.
첨가행렬을 이용한 풀이
- 선형시스템 Ax=b에서, 계수행렬 A를 이용해 첨가행렬 [A | b]를 구한다.
- 첨가행렬 [A | b]에 대해 기본 행 연산을 수행하여, A 행렬이 삼각행렬이 되게 한다.
- 역대입법을 통해 해를 구한다.
Q. 위의 선형시스템의 해는 어떻게 구하는가?
- 위처럼 첨가행렬 [A | b]를 만들고, 행 교체, 상수를 곱해 다른 행에 더하기 등의 기본 행 연산을 수행한다.
- 결과적으로 위와 같은 상부삼각행렬이 만들어지고, 역대입법에 의해 x1 = 2, x2 = -1, x3 =3, x4 =2를 구할 수 있다.
- 만약 피벗이 존재하지 않는 행이 있다면, 주어진 식을 만족시키는 해가 없다는 뜻이다.
- 위와 같은 방식을 후방대입법(Back-Substitution)이라고 한다.