역행렬
- 행렬 A와 B가 모두 정방행렬일 때, AB = BA = I 인 행렬 B가 존재하는 경우, 행렬 A가 가역적이라고 한다.
-> 이 때, AB = BA = I를 성립시키는 행렬 B를 행렬 A의 역행렬이라고 한다.
- 역행렬이 존재함 -> 행렬식이 0이 아님 -> 정칙행렬
- 역행렬이 없음 -> 행렬식이 0임 -> 특이행렬
- 역행렬은 여러 개 존재할 수 없다. ( 0개이거나 1개임 )
-> 행렬 A의 역행렬이 행렬 B, 행렬 C 두개라고 가정할 때, AB=BA=I이고, AC=CA=I이다.
-> 이 때, C=CI 이고, I=AB 이므로, C=C(AB)이다.
-> 결합법칙에 따라, C(AB) = (CA)B이고, CA=I이므로 (CA)B = IB이다.
-> 즉, C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B 이므로 행렬 B와 행렬 C는 같다.
- A의 역행렬의 역행렬( (A^-1)^-1 )은 A이다.
- (A*B)의 역행렬은 B의 역행렬 * A의 역행렬이다. ( (AB)^-1 = B^-1 * A^-1 )
역행렬을 구하는 방법
1. 역행렬을 변수로 놓고, 서로 곱해 항등행렬이 되도록 한다.
-> a+2c=1, 3a+4c = 0이므로, a=-2, c=3/2
-> b+2d=0, 3b+4d = 1이므로, b=1, d=-1/2 이다.
-> 귀찮음.
2. 첨가행렬 (Augmented Matrix)에 기본 행 연산을 실행해 역행렬을 구한다.
-> [A | I] 형태의 첨가행렬에서, 행렬 A가 항등행렬이 되도록 기본 행연산(가우스-조던 소거법)을 실행한다.
-> 행렬 A에 실행한 기본 행연산을 첨가된 항등행렬에도 똑같이 실행한다.
-> 행렬 A가 항등행렬이 되었을 때, 첨가된 항등행렬은 행렬 A의 역행렬이 된다.
= [A | I] -> [I | A^-1]
3. 수반행렬 (Adjugate matrix, Adj)에 의해 대수적으로 역행렬 구하기
- 수반행렬 : A의 여인수를 성분으로 가지는 행렬의 전치행렬, Adj(A)로 표기
