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일계미분방정식을 푸는 방법
ⓐ 변수분리법
f(x)dx = g(y)dy의 형태의 미분방정식일 때,
양변을 적분하고 풀어서 정리한다.
ⓑ 완전미분방정식
M(x, y)dx + N(x,y)dy = 0 형태의 제차완전미분방정식 형태에서
y로 편미분한 M과 x로 편미분한 N이 같으면 완전미분방정식(EDE)이다.
ⓒ 치환 ( 동차방정식 )
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 꼴의 제차미분방정식에서,
M(tx, ty)에서의 t의 차수와 N(tx, ty)에서의 t의 차수가 같을 때,
M, N이 같은 차수의 동차함수라고한다.
ⓓ 적분인자로 풀기
글로 쓰기엔 복잡해서 그림으로..
위의 적분인자를 이용하는 식을 유도하는 과정
① dy/dx+P(x)y =0 형태의 제차 방정식에서 일반해를 구한다.
② dy/dx+P(x)y=f(x) 형태의 비-제차 방정식에 ①에서 구한 식을 바탕으로 해를 구한다.
ⓔ 실생활 응용 문제
초기값 P0에서, n시간이 지나자 Pn이 됬다. 이 때, t=n일 때 Pa는 몇인가?
와 같은 형식의 문제
dP/dt - kP = 0 ( Pt는 시간에 따른 값, k는 비례상수, t는 시간이다 )
비-선형 모델의 경우
dP/dt = kt ( 선형모델 ) 과 다르게
dP/dt = P(a-bP) ( 로지스틱 함수 ) 를 이용한다.
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